2020湖北高考理数一轮复习 数学归纳法及其应用

　　数学归纳法(Mathematical Induction, MI)是一种数学证明方法，通常被用于证明某个给定命题在整个(或者局部)自然数范围内成立。除了自然数以外，广义上的数学归纳法也可以用于证明一般良基结构，例如：集合论中的树。这种广义的数学归纳法应用于数学逻辑和机科学领域，称作结构归纳法。

　　在数论中，数学归纳法是以一种不同的方式来证明任意一个给定的情形都是正确的(先进个,第二个，第三个，一直下去概不例外)的数学定理。 [1] 虽然数学归纳法名字中有“归纳”，但是数学归纳法并非不严谨的归纳推理法，它属于完全严谨的演绎推理法。事实上，所有数学证明都是演绎法。

　　原理较简单和常见的数学归纳法是证明当n等于任意一个自然数时某命题成立。证明分下面两步：

　　证明当n= 1时命题成立。

　　假设n=m时命题成立，那么可以推导出在n=m+1时命题也成立。(m代表任意自然数)

　　这种方法的原理在于：首先证明在某个起点值时命题成立，然后证明从一个值到下一个值的过程有效。当这两点都已经证明，那么任意值都可以通过反复使用这个方法推导出来。把这个方法想成多米诺效应也许更容易理解一些。例如：你有一列很长的直立着的多米诺骨牌，如果你可以：

　　证明先进张骨牌会倒。

　　证明只要任意一张骨牌倒了，那么与其相邻的下一张骨牌也会倒。

　　那么便可以下结论：所有的骨牌都会倒下。

　　解题要点数学归纳法对解题的形式要求严格，数学归纳法解题过程中，先进步：验证n取先进个自然数时成立第二步：假设n=k时成立，然后以验证的条件和假设的条件作为论证的依据进行推导，在接下来的推导过程中不能直接将n=k+1代入假设的原式中去。较后一步总结表述。需要强调是数学归纳法的两步都很重要，缺一不可，否则可能得到下面的荒谬证明：证明1：所有的马都是一种颜色首先，先进步，这个命题对n=1时成立，即，只有1匹马时，马的颜色只有一种。第二步，假设这个命题对n成立，即假设任何n匹马都是一种颜色。那么当我们有n+1匹马时，不妨把它们编好号：1, 2, 3……n, n+1对其中(1、2……n)这些马，由我们的假设可以得到，它们都是同一种颜色;对(2、3……n、n+1)这些马，我们也可以得到它们是一种颜色;由于这两组中都有(2、3、……n)这些马，所以可以得到，这n+1种马都是同一种颜色。这个证明的错误来于推理的第二步：当n=1时，n+1=2，此时马的编号只有1、2，那么分的两组是(1)和(2)——它们没有交集，所以第二步的推论是错误的。数学归纳法第二步要求n→n+1过程对n=1，2，3……的数都成立，而上面的证明就好比多米诺骨牌的先进块和第二块之间间隔太大，推倒了先进块，但它不会推倒第二块。即使我们知道第二块倒下会推倒第三块等等，但这个过程早已在先进和第二块之间就中断了。