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高中数学选修2-2数系的扩充和复数的概念

2018-06-08 11:12:44  来源:网络整理

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  高中数学选修2-2数系的扩充和复数的概念!数学是一门基础学科,对于我们的广大孩子来说,数学水平的高低,直接影响到物理、化学等学科的学习成绩,数学的重要地位由此可见。下面就是小编特意为同学们整理的高中数学选修2-2数系的扩充和复数的概念,希望对大家有所帮助。

 

高中数学选修2-2知识点

 

  教材分析

  复数的概念是复数这一章的基础,复数的有关概念都是围绕复数的代数表示形式展开的。虚数单位、实数、虚步的命名,复数相等的概念,以及虚数、纯虚数等概念的理解,教学中可结合具体例子,以促进对复数实质的理解。

  教材通过三个环节完成了对实数系的扩充过程:(1)提出问题(用什么方法解决方程x+1=0在实数集中无解的问题),引发孩子的认知冲突,激发孩子扩充实数系的欲望;(2)回顾从自然数集逐步到实数集的过程和特点(添加新数,满足原来的运算律);(3)类比、设想扩充实数系的方向及引入新数i所满足的条件(使i= -1成立,满足原来的运算律)。由于孩子对数系扩充的知识并不熟悉,教学中教师需多引导。

  2

  2

  教学目标

  1.知识与技能目标

  了解引进复数的必要性;理解虚数单位i以及i与实数的四则运算规律。理解并掌握复数的有关概念(复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部、复数相等)。 2.过程与方法目标

  通过问题情境,了解扩充数系的必要性,感受数系的扩充过程,体会引入虚数单位i和复数形式的合理性,使虚数对数的概念有一个初步的、完整的认识。

  3.情感、态度与价值观 通过问题情境,体会实际需求与数学内部矛盾在数系扩充过程的作用,感受人类理性思维的作用以及与现实世界的联系。

  教学重点:

  复数的概念,虚数单位i,复数的分类(实数、虚数、纯虚数)和复数相等等概念。

  教学难点:

  虚数单位i的引进及复数的概念。

  教学过程

  一、引入新课

  请同学们回答以下问题:

  (1) 在自然数集N中,方程x+4=0有解吗? (2) 在整数集Z中,方程3x—2=0有解吗?

  (3) 在有理数集Q中,方程x—2=0有解吗?

  设计意图:回顾从自然数集N扩充到实数集R的过程,帮助孩子认识数系扩充的主要原因和共同特征。

 

  二、探究新知

  1.提出问题: 方程x2+1=0在实数集R有解吗?如何对实数集进行扩充,使方程x2+1=0在新

  的数集中有解?

  我们说,实系数一元二次方程x2+1=0没有实数根.实际上,就是在实数范围内,没有一个

  2

  实数的平方会等于负数.解决这一问题,其本质就是解决一个什么问题呢?组织孩子讨论,引导孩子研究,较后得出结论:较根本的问题是要解决-1的开平方问题.即一个什么样的数,它的平方会等于-1.

  设计意图:面对新问题的需要,感到扩充实数集的必要性,通过类比,猜想增添的新数需要满足的条件。

  2.引入新数i,并给出它的两条性质

  根据前面讨论结果,我们引入一个新数i,i叫做虚数单位,并规定: (1)i??1;

  (2)实数可以与它进行四则运算,进行四则运算时,原有的加、乘运算律仍然成立. 有了前面的讨论,引入新数i,可以说是水到渠成的事.这样,就可以解决前面提出的问题(-1可以开平方,而且-1的平方根是?3.提出复数的概念

  我们把形如a+bi(a、b∈R)的数叫做复数,其中i叫做虚数单位。复数通常用字母z表示,即z= a+bi(a、b∈R)。全体复数构成的集合C叫做复数集,即C={ z= a+bi(a、b∈R)} 注:今后不做特殊说明,a叫做复数z的实部,b叫做复数z的虚部。

  设计意图:让孩子自己添加上这些新数,感受实数系的扩充过程,认识扩充后新数的特点,知道复数的代数形式及有关概念。

  提出问题:你认为满足什么条件,可以说这两个复数相等?

  若a+bi= c+di(a、b、c、d∈R),则a=c且b=d,即两个复数相等的充要条件是实部和虚部分别相等。特别的地,a+bi=0有a=0且b=0

  设计意图:通过探究讨论,让孩子对复数相等的概念达成共识,并揭示复数相等的内涵,利用复数相等,可以得到关于实数的方程组,进而得到a,b的值。

 

  三、理解新知:

  提出问题:对于复数z= a+bi,当且仅当a,b满足什么条件时,z为实数,为0,为虚数,

  为纯虚数? 设计意图:让孩子进一步了解复数的代数形式,明确复数z= a+bi为实数,虚数和纯虚数的

  充要条件。 提出问题:实数系扩充到复数系后,实数集R与复数集C有怎样的关系?你能用类比实数的分类,对复数进行合理的分类吗?试用韦恩图表示复数集、实数集、虚数集和纯虚数集之间的关系。

  设计意图:让孩子了解数系扩充后复数的正确分类及数系之间的包含关系。

  提出问题:任意两个复数可以比较大小吗?若可以,请说明进行比较的方法;若不可以,请

  说明理由。

  复数集

  2i).

  虚数集

  纯虚数

  实数集

  四.运用新知:

  例1.请说出下列复数的实部和虚部,并判断它们是实数,虚数还是纯虚数。

  11)2+3i 2) i ?3 ?3) 2 ? i 4) ?5) ? 3 i 6) 0 巩固训练

  符合下列条件的复数一定存在吗?若存在,请举出例子;若不存在,请说明理由。 1)实部为 ? 2 的虚数; 2)虚部为 ? 2 的虚数; 3)虚部为 ? 2 的纯虚数; 4)实部为 ? 2 的纯虚数。

  2?例2.实数m取什么值时,复数 z m ? 1 ? ( m ? 1 ) i 是

  (1)实数? (2)虚数?(3)纯虚数? 变式训练

  已知集合M={1,2,( a ? 3 a ? 1 ) ? ( a 5 a ? 6 ) i }N={-1,3},若M ? N={3},?则a=____.

  x ?y )y例3.已知 ( 2 1 ) ? i ? y ? ( 3 ? i ,其中 x , ? R ,求 x与y.22课堂小结

  1.虚数单位i的引入;

  2.复数有关概念:

  ?复数的代数形式:z?a?bi (a?R,b?R)??复数的实部、虚部? ?虚数、纯虚数??a?c?复数相等z?a?bi ??(a?R,b?R)(注意:a,b,c,d?R,否则不能左推)?b?d??布置功课

  1.当m为何实数时,复数Z?m?m?2?(m?1)i 1)实数 2)虚数 3)纯虚数 2.若x,y为实数,且

  22?22x?y?x?yi?2?4i,求x,y。

  ?22

  3.若(2x-3x-2)+(x-5x+6) =0,求x的值.

  选作题:给出实数-1,1和0,你能构成哪些不同的复数?

  板书设计

  一.虚数单位i的引入,i的性质1) 三.例题分析 2)

  二.复数有关概念: 四.课堂小结

 

  以上就是小编为大家整理的高中数学选修2-2数系的扩充和复数的概念,同学们如果想获取小初高各学科年级相关的同步课程辅导,可拨打爱智康课程免费咨询热线电话:4000-121-121 .

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