高中数学选修2-1充分条件与必要条件

　　高中数学选修2-1充分条件与必要条件！克莱因的科学家说过这样一段话：唱歌能让你焕发激情，美术能让你赏心悦目，诗歌能使你拨动心弦，哲学能让你增长智慧，科学能改变你的物质生活，但数学能给你以上的这一切。下面就是小编特意为同学们整理的高中数学选修2-1充分条件与必要条件，希望对大家有所帮助。

 

高中数学选修2-1知识点

 

　　1.如果p q,q p,那么p是q的( )

　　A.必要而不充分条件 B.充分而不必要条件

　　C.充要条件 D.既不充分又不必要条件

　　答案：B

　　解析：由充要条件的定义易知.

　　2.观察右图,说明p是s的_____________条件.( )

　　A.充分不必要 B.必要不充分

　　C.充要 D.既不充分又不必要

　　答案：A

　　解析：由题图易知p t s,但s p.

　　3.若 A是B的充分不必要条件,则A是 B的( )

　　A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

　　C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

　　答案：B

　　解析：由原命题 逆否命题知: A B B A,B A A B.

　　4.设p:0

　　A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

　　C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

　　答案：A

　　解析：q即:-3

　　∴p q,但q p.

　　5.如果命题:“若A则B”的否命题是真命题,而它的逆否命题是假命题,则A是B的________条件.

　　答案：必要不充分

　　解析：由题知,原命题为假命题,即A B.

　　逆命题为真命题,即B A.

　　故A是B的必要不充分条件.

　　6.命题甲:x+y≠3,命题乙:x≠1或y≠2,则甲是乙的___________________条件.

　　答案：充分不必要

　　解析：命题乙的否定为:x=1且y=2;命题甲的否定是:x+y=3.

　　当然非乙 非甲,但非甲 非乙,

　　也即甲 乙,但乙 甲.所以甲是乙的充分不必要条件.

　　7.指出下列各组命题中,p是q的什么条件(在“充分而不必要条件”“必要而不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种)?

　　(1)p:x∈{x|x>-2或x<3},q:x∈{x|x2-x-6<0};

　　(2)p:a与b都是奇数,q:a+b是偶数.

　　解：(1)∵x∈{x|x2-x-6<0}={x|-2

　　∴x∈{x|x>-2或x<3} x∈{x|-2

　　而x∈{x|-2-2或x<3},所以p是q的必要而不充分条件.

　　(2)∵a、b都是奇数?a+b是偶数,而a+b是偶数 a、b都是奇数,

　　∴p是q的充分而不必要条件.

　　能力 踮起脚,抓得住!

　　8.(河北石家庄模拟)设条件p:|x|>1,条件q:x<-2,则 p是 q的( )

　　A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

　　C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

　　答案：A

　　解析：p:|x|>1,∴ p:-1≤x≤1.又q:x<-2,∴ q:x≥-2,∴ p是 q的充分不必要条件.选A.

　　9.设f(x)=x2-4x(x∈R),则f(x)>0的一个必要不充分条件是( )

　　A.x<0 B.x<0或x>4

　　C.|x-1|>1 D.|x-2|>3

　　答案：A

　　解析：f(x)>0 x<0或x>4.

　　∴x<0 f(x)>0.

　　10.已知a为非零实数,x为实数,则命题“x∈{-a,a}”是“|x|=a”的________________条件.

　　答案：既不充分也不必要

　　解析：当a>0时,x∈{-a,a} |x|=a;

　　当a<0时,x∈{-a,a} |x|=a.

　　11.方程3x2-10x+k=0有两个同号且不相等的实根的充要条件是________________.

　　答案：0

　　解析：方程有两个同号且不相等的实根

　　解之即得0

　　12.已知p:|1- |≤2,q:x2-2x+1-m2≤0(m>0),且 p是 q的必要不充分条件,求实数m的取值范围.

　　解法一：由x2-2x+1-m2≤0得1-m≤x≤1+m,

　　∴ :A={x|x>1+m或x<1-m,m>0}.

　　由|1- |≤2得-2≤x≤10,

　　∴ :B={x|x<-2或x>10}.

　　∵ p是 q的必要而不充分条件,

　　∴A B 解得m≥9.

　　解法二：∵ p是 q的必要而不充分条件,

　　∴q是p的必要而不充分条件.

　　∴p是q的充分而不必要条件.

　　由x2-2x+1-m2≤0得1-m≤x≤1+m(m>0).

　　∴q:Q={x|1-m≤x≤1+m,m>0}.

　　又由|1- |≤2得-2≤x≤10,

　　∴p:P={x|-2≤x≤10}.

　　∵p是q的充分而不必要条件,

　　∴P Q 解得m≥9.

　　13.已知a、b、c都是实数,证明ac<0是关于x的方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根的充要条件.

　　证明：(1)充分性:

　　若ac<0,则Δ=b2-4ac>0,方程ax2+bx+c=0有两个相异的实根,设为x1、x2,

　　∵ac<0,∴x1•x2= <0,即x1、x2的符号相反,方程有一个正根和一个负根.

　　(2)必要性:

　　若方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根,设为x1、x2,不妨设x1<0,x2>0.则x1x2= <0,∴ac<0.

　　由(1)(2)知ac<0是方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根的充要条件.

　　拓展应用 跳一跳，够得着!

　　14.ax2+2x+1=0中至少有一个负实数根的充要条件是( )

　　A.0

　　答案：C

　　解析：验证a=0和a=1都满足题意.

　　15.全集为U,在下列条件中,哪些是B A的充要条件?

　　(1)A∪B=A;(2) A∩B= ;(3) A B;?(4)A∪ B=U.

　　答案是(填序号)______________.

　　答案：(1)(2)(3)(4)

　　解析：作文氏图,利用图形的直观性可知:①—④均是B A的充要条件.

　　16.求证:关于x的方程x2+2ax+b=0有实数根,且两根均小于2的充分但不必要条件是a≥2且|b|≤4.

　　证明：∵a≥2,|b|≤4,∴a2≥4≥b.

　　∴Δ=4(a2-b)≥0.

　　∴方程x2+2ax+b=0有实根.

　　又∵

　　∴(x1-2)+(x2-2)=(x1+x2)-4=-2a-4≤-4-4=-8<0.

　　而(x1-2)(x2-2)=x1x2-2(x1+x2)+4=b+4a+4≥-4+8+4=8>0,

　　∴

　　由以上知,“a≥2且|b|≤4”方程有实数根且两根均小于2.

　　再验证条件不必要:取x2-x=0的两根为x1=0,x2=1,则方程的两根均小于2,而a=- <2,

　　∴“方程的两根小于2” “a≥2且|b|≤4”.

　　综上,a≥2且|b|≤4是方程有实数根且两根均小于2的充分但不必要条件

 

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